从自然数开始

对于一个自然数 \(n\in\mathbb{N}\)，若其只能被 \(1\) 和它本身整除（即只有两个因 子），则被称为素数；若其有多于两个因子，则被称为合数。素数是不能够进行质因式分解 的最小单元，因此合数具有唯一的质因式分解（质因子不可再分）。

针对素数，我们希望研究：

• 对于任意 \(n\in \mathbb{N}\)，判断其是否为素数；
• 对于任意 \(n\in \mathbb{N}\)，找到所有小于 \(n\) 的素数，或等价于求小于 \(n\)

的素数的个数； - 对于任意 \(n\in \mathbb{N}\)，求其质因式分解。

前几天，看杂志时发现一个有趣的问题，“对任意一个自然数 \(n\)，如何求其所有因子的 和”。这个问题本身并不困难，但从中可以继续思考质数的相关规律。

既然是要求因子的和，那么我们首先需要用数学语言将因子表示出来。在此之前，我们需要 先将这个自然数表示出来。

设 \(n\) 有 \(m+1\) 个质因子 \(p_0 < p_1 < \cdots < p_m\)，则存在如下唯一的质因 式分解

\begin{equation} n = p_0^{a_0} \times p_1^{a_1} \times \cdots \times p_m^{a_m} \end{equation}

则 \(n\) 的因子 \(f\) 满足

\begin{equation} f = p_0^{b_0} \times p_1^{b_1} \times \cdots \times p_m^{b_m} \end{equation}

其中

\begin{equation} \left\{\begin{array}{c} 0 \leq b_0 \leq a_0\\ 0 \leq b_1 \leq a_1\\ \vdots\\ 0 \leq b_m \leq a_m \end{array}\right.,\ And \ b_0, b_1, \cdots, b_m \in \mathbb{N} \end{equation}

记所有质因子之和为 \(S(n)\)，即为所有满足上式的 \(f\) 之和

\begin{equation} \begin{split} S(n) &= (p_0^0+p_0^1+\cdots+p_0^{a^0})\times (p_1^0+p_1^1+\cdots+p_1^{a^1})\times \cdots \times (p_m^0+p_m^1+\cdots+p_m^{a^m})\\ &= \dfrac{p_0^{a_0+1}-1}{p_0-1}\times \dfrac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\times \cdots \times\dfrac{p_m^{a_m+1}-1}{p_m-1}\\ &= \prod\limits_{i=0}^m \dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1} \end{split} \end{equation}

至此，我们已经得到已知自然数 \(n\) 所有因子和 \(S(n)\)的表达式。接下来验证一下， \(24\) 的所有因子有\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)，求和得 \(S_1(24)=60\)。\(24\) 的质因式分解为 \(24=2^3\times3^1\)，则 \(S_2(24)=(2^0+2^1+2^2+2^3)\times(3^0+3^1)=60\)。答案正确！

首先来解决第一个问题。使用计算机进行计算发现，前 \(2^k\) 个质数的 \(\Pi_p(2^k)\) 与 \(k\) 呈近似线性关系

\begin{equation} \Pi_p(2^k) = ak + b \end{equation}

另外 \(2^k\) 以内的质数的分式乘积 \(\Pi_p(\eta)\) 也与 \(k\) 呈近似线性关系。

设 \(\Pi(n)\) 为前 \(n\) 个自然数的类似分式积表达式

\begin{equation} \Pi(n) = \dfrac21 \times \dfrac32 \times \cdots \times \dfrac{n}{n-1} = n \end{equation}

则前 \(n\) 个质数的 \(\Pi(n)\) 与 \(n\) 呈线性关系。

一个为质数， 一个为自然数，其中必然蕴含着质数分布的某种真理。